Mostre que se x, y \in \mathbb{R} então
\min \{x, y\}=\frac{1}{2}(x+y-|x-y|)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer x,y\in\mathbb{R}\), vale a fórmula \[\min\{x,y\} \;=\;\frac12\bigl(x+y - |x-y|\bigr).
Para isso, vamos usar a definição de valor absoluto
\;|t| = \begin{cases}t, & t\ge0,\\\\ -t, & t<0,\end{cases}\] aplicada a \(t = x-y, e fazer análise em dois casos.

Passo 2

Caso x \le y.
Então x - y \le 0, logo
|x-y| = -(x-y) = y - x.
Substituindo em
\displaystyle \frac12\bigl(x+y - |x-y|\bigr), obtemos
\frac12\bigl(x+y - (y-x)\bigr) = \frac12\bigl(x+y-y+x\bigr) = \frac12(2x) = x.
Como x\le y, temos \min\{x,y\}=x. Portanto a fórmula coincide com \min\{x,y\} neste caso.

Passo 3

Caso x > y.
Então x - y > 0, logo
|x-y| = x-y.
Substituindo em
\displaystyle \frac12\bigl(x+y - |x-y|\bigr), obtemos
\frac12\bigl(x+y - (x-y)\bigr) = \frac12\bigl(x+y-x+y\bigr) = \frac12(2y) = y.
Como y<x, temos \min\{x,y\}=y. Portanto a fórmula coincide com \min\{x,y\} também neste caso.

Passo 4

Os dois casos cobrem todas as possibilidades para x e y. Em cada um deles a expressão
\frac12(x+y-|x-y|) resulta exatamente em \min\{x,y\}.

Resposta

\min\{x,y\} = \frac12\bigl(x+y - |x-y|\bigr).

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