Mostre por indução matemática:
\quad 6 \mid n(n+1)(2 n+1), \forall n \in \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução matemática que 6 divide n(n+1)(2n+1) para todo n\in\mathbb{Z}. O tema envolvido é prova por indução e propriedades de divisibilidade. Para resolver, usaremos o princípio de indução: verificar a base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Base de indução: para n=1 temos
1\cdot2\cdot3 = 6,
e claramente 6\mid6. Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k\ge1 valha
6 \mid k(k+1)(2k+1),
isto é, existe inteiro m tal que
k(k+1)(2k+1) = 6m.

Passo 4

Passo indutivo: devemos mostrar que
6 \mid (k+1)(k+2)(2k+3).
Observe que
(k+1)(k+2)(2k+3) - k(k+1)(2k+1) = (k+1)\bigl((k+2)(2k+3) - k(2k+1)\bigr) = (k+1)(6k+6) = 6(k+1)^2.
O termo à direita é múltiplo de 6. Como, por hipótese, k(k+1)(2k+1) também é múltiplo de 6, segue que
(k+1)(k+2)(2k+3) = k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2
é múltiplo de 6. Portanto 6\mid (k+1)(k+2)(2k+3).

Passo 5

Pelo princípio de indução, a propriedade 6\mid n(n+1)(2n+1) vale para todo n\ge1. Estendendo o raciocínio aos inteiros negativos (pois o produto mantém-se par e múltiplo de 3 também para n<0), concluímos que vale para todo n\in\mathbb{Z}.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{Z}, 6 divide n(n+1)(2n+1).

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