Sejam d, a, b \in \mathbb{Z}, onde d \neq 0.
Se a \mid b se, e somente se, a c \mid b c,(c \neq 0)

Passo 1

O enunciado trata de divisibilidade em \mathbb{Z}. Lembrando que, por definição, dizemos que a\mid b se existe um inteiro k tal que
b = a\,k.
Queremos mostrar que, para todo c\in\mathbb{Z}, c\neq 0, vale
a\mid b \quad\Longleftrightarrow\quad ac\mid bc.

Passo 2

(“ \Longrightarrow”) Suponha a\mid b. Então existe k\in\mathbb{Z} tal que
b = a\,k.
Multiplicando ambos os lados por c obtemos
b\,c = (a\,k)\,c = (a\,c)\,k,
ou seja, existe o mesmo k que faz b\,c = (a\,c)\,k. Portanto ac\mid bc.

Passo 3

(“ \Longleftarrow”) Agora suponha ac\mid bc. Então existe k\in\mathbb{Z} com
b\,c = (a\,c)\,k = a\,(c\,k).
Como c\neq 0 e \mathbb{Z} é domínio de integridade, podemos simplesmente “cancelar” c e escrever
b = a\,k.
Isso mostra que a\mid b.

Resposta

Ficou provado que, para todo c\neq 0,
a\mid b \quad\Longleftrightarrow\quad ac\mid bc.

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