Mostre por indução matemática:
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução matemática que
divide
para todo
. O tema envolvido é prova por indução e propriedades de divisibilidade. Para resolver, usaremos o princípio de indução: verificar a base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Base de indução: para
temos
e claramente
. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
isto é, existe inteiro
tal que
Passo 4
Passo indutivo: devemos mostrar que
Observe que
O termo à direita é múltiplo de
. Como, por hipótese,
também é múltiplo de
, segue que
é múltiplo de
. Portanto
.
Passo 5
Pelo princípio de indução, a propriedade
vale para todo
. Estendendo o raciocínio aos inteiros negativos (pois o produto mantém-se par e múltiplo de 3 também para
), concluímos que vale para todo
.
Resposta
Para todo
,
divide
.