Mostre, por indução matemática, que, para todo n \in \mathbb{N} \cup\{0\},
169 \mid 3^{3 n+3}-26 n-27

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\} vale
169 \mid 3^{3n+3} - 26n - 27.
O conteúdo é indução e propriedade de divisibilidade; vamos fazer a base e o passo indutivo.

Passo 2

(Base) Para n=0, temos
3^{3\cdot0+3} - 26\cdot0 - 27 = 3^3 - 27 = 27 - 27 = 0,
e 0 é múltiplo de 169. Logo a base está ok.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que para algum n\ge0 exista k\in\mathbb{Z} tal que
3^{3n+3} - 26n - 27 = 169\,k.

Passo 4

(Passo n\to n+1) Considere a expressão para n+1:
3^{3(n+1)+3} - 26(n+1) - 27 =3^{3n+6}-26n-53 =27\cdot3^{3n+3}-26n-53.
Usando a hipótese, 3^{3n+3}=26n+27+169k. Então
27\cdot3^{3n+3}-26n-53 =27(26n+27+169k)-26n-53 =702n+729+169\cdot27k-26n-53 =676n+676+169\cdot27k.
Como 676=4\cdot169, segue
676n+676+169\cdot27k =169\bigl(4n+4+27k\bigr),
ou seja, é múltiplo de 169. Assim o passo indutivo fecha.

Passo 5

Pela base e pelo passo indutivo, concluímos que para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\} vale
169 \mid 3^{3n+3} - 26n - 27.

Resposta

A propriedade está válida para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\}.

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