Mostre, por indução matemática, que, para todo
,
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo
vale
O conteúdo é indução e propriedade de divisibilidade; vamos fazer a base e o passo indutivo.
Passo 2
(Base) Para
, temos
e
é múltiplo de
. Logo a base está ok.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que para algum
exista
tal que
Passo 4
(Passo
) Considere a expressão para
:
Usando a hipótese,
. Então
Como
, segue
ou seja, é múltiplo de
. Assim o passo indutivo fecha.
Passo 5
Pela base e pelo passo indutivo, concluímos que para todo
vale
Resposta
A propriedade está válida para todo
.