Mostre, por indução matemática, que, para todo n \in \mathbb{N} \cup\{0\},
9 \mid n 4^{n+1}-(n+1) 4^{n}+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\} vale
9 \mid \bigl(n\,4^{n+1} - (n+1)\,4^n + 1\bigr).
O conteúdo é prova por indução: verificamos primeiro o caso base n=0 e depois assumimos a hipótese para um k\ge0 e provamos para k+1.

Passo 2

(Caso base n=0)
Substituindo n=0 na expressão temos
0\cdot4^{1} - (0+1)\,4^{0} + 1 = 0 - 1\cdot1 + 1 = 0.
Como 0 é múltiplo de 9, o caso base está ok.

Passo 3

(Hipótese de indução)
Suponha que para algum k\ge0 já seja verdade que
9 \mid P(k),\quad\text{onde}\quad P(k)=k\,4^{k+1} - (k+1)\,4^k + 1.

Passo 4

(Passo de indução)
Considere
P(k+1) = (k+1)\,4^{k+2} \;-\;(k+2)\,4^{k+1} \;+\;1.
Reescrevendo em função de P(k):
4\,P(k) = 4\bigl(k\,4^{k+1} - (k+1)\,4^k + 1\bigr) = k\,4^{k+2} - (k+1)\,4^{k+1} + 4.
Logo
P(k+1) - 4\,P(k) = \bigl[(k+1)\,4^{k+2} - (k+2)\,4^{k+1} + 1\bigr] - \bigl[k\,4^{k+2} - (k+1)\,4^{k+1} + 4\bigr].
Fazendo as contas dentro dos colchetes:
P(k+1) - 4\,P(k) = 4^{k+2} - 4^{k+1} - 3 = 4^{k+1}(4-1) - 3 = 3\bigl(4^{k+1}-1\bigr).
Portanto
P(k+1) = 4\,P(k) + 3\bigl(4^{k+1}-1\bigr).
Pela hipótese de indução 4\,P(k) é múltiplo de 9. Além disso, como 4\equiv1\pmod3 temos 4^{k+1}-1\equiv0\pmod3, logo
3\bigl(4^{k+1}-1\bigr)
é múltiplo de 9. Daí P(k+1) é soma de dois múltiplos de 9, logo é múltiplo de 9.

Resposta

Pelo princípio de indução, a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\}.

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