Mostre, por indução matemática, que, para todo
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que para todo
vale
O conteúdo é prova por indução: verificamos primeiro o caso base
e depois assumimos a hipótese para um
e provamos para
.
Passo 2
(Caso base
)
Substituindo na expressão temos
Substituindo
Como
é múltiplo de
, o caso base está ok.
Passo 3
(Hipótese de indução)
Suponha que para algum já seja verdade que
Suponha que para algum
Passo 4
(Passo de indução)
Considere
Considere
Reescrevendo em função de
:
Logo
Fazendo as contas dentro dos colchetes:
Portanto
Pela hipótese de indução
é múltiplo de
. Além disso, como
temos
, logo
é múltiplo de
. Daí
é soma de dois múltiplos de
, logo é múltiplo de
.
Resposta
Pelo princípio de indução, a propriedade vale para todo
.