Questão 3: Encontre a derivada da função f(x)=\frac{x^{2}-2}{x^{3}-6}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional
f(x)=\frac{x^{2}-2}{x^{3}-6}.
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente para derivadas, que diz que, se temos
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{2}-2\quad\text{e}\quad v(x)=x^{3}-6.
Derivando cada uma: a derivada de u é
u'(x)=2x
e a derivada de v é
v'(x)=3x^{2}.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, substituímos u, v, u' e v' na fórmula:
f'(x) =\frac{2x\,(x^{3}-6)\;-\;(x^{2}-2)\,(3x^{2})}{\bigl(x^{3}-6\bigr)^{2}}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador. Calculamos separadamente:
2x\,(x^{3}-6)=2x^{4}-12x,
3x^{2}\,(x^{2}-2)=3x^{4}-6x^{2}.
Subtraindo-os, vem
2x^{4}-12x\;-\;\bigl(3x^{4}-6x^{2}\bigr) =-x^{4}+6x^{2}-12x.
Logo a derivada final é
f'(x) =\frac{-x^{4}+6x^{2}-12x}{\bigl(x^{3}-6\bigr)^{2}}.

Resposta

A derivada de f(x) é
f'(x)=\frac{-x^{4}+6x^{2}-12x}{\bigl(x^{3}-6\bigr)^{2}}.

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