Questão 1: Suponha que um objeto em movimento tenha seu deslocamento em função do tempo dada por S(t)=t^{3}+2 t^{2}+45 em que o espaço é dado em metros e o tempo em segundos. Usando o conceito de derivava, calcule a sua velocidade e aceleração no instante t=2.

Passo 1

O enunciado nos dá o deslocamento de um objeto em função do tempo
S(t)=t^3+2t^2+45
com espaço em metros e tempo em segundos. Precisamos calcular a velocidade e a aceleração no instante t=2. Para isso, lembramos que a velocidade v(t) é a derivada de S(t) e a aceleração a(t) é a derivada de v(t).

Passo 2

Calcular a velocidade v(t)=S'(t) aplicando a regra do poder (derivada de t^n é n\,t^{n-1}):
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^3+2t^2+45\bigr) =3t^2+4t.
Agora avaliamos em t=2:
v(2)=3\cdot2^2+4\cdot2=3\cdot4+8=12+8=20.

Passo 3

Calcular a aceleração a(t)=v'(t) derivando v(t)=3t^2+4t:
a(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^2+4t\bigr) =6t+4.
Agora avaliamos em t=2:
a(2)=6\cdot2+4=12+4=16.

Resposta

Velocidade em t=2: v(2)=20\\ \text{m/s}
Aceleração em t=2: a(2)=16\\ \text{m/s}^2

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