Mostre, por indução matemática, que para todo n in N cup0 tem-se
(b) 9 mid 10^n-1

Passo 1

O enunciado pede uma prova por indução matemática de que, para todo ninNcup0, vale a propriedade
9 mid 10^n - 1
O conteúdo é o princípio da indução e noções básicas de divisibilidade.

Passo 2

Base da indução ( n=0):
Calculamos 10^0-1 = 1 - 1 = 0. Como 0 é múltiplo de qualquer inteiro não nulo, em particular de 9, temos
9 mid 10^0-1

Passo 3

Hipótese de indução:
Suponha que, para algum k>=0, já sabemos que
9 mid 10^k - 1
Isso significa que existe um inteiro m tal que 10^k-1 = 9m.

Passo 4

Passo indutivo ( kto k+1):
Precisamos mostrar que 9 mid 10^k+1-1. Observe:
10^k+1-1 = 10cdot 10^k - 1 = 10,(10^k-1) + 10 -1 = 10,(10^k-1) + 9
Pela hipótese de indução, 10^k-1 = 9m, logo 10,(10^k-1) = 10cdot9m = 9,(10m). Assim
10^k+1-1 = 9,(10m) + 9 = 9l(10m + 1r),
ou seja, é múltiplo de 9. Portanto 9 mid 10^k+1-1.

Resposta

Pelo princípio da indução matemática, segue que para todo ninNcup0 vale 9 mid 10^n-1.

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