Mostre, por indução matemática, que para todo
tem-se
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede uma prova por indução matemática de que, para todo
, vale a propriedade
O conteúdo é o princípio da indução e noções básicas de divisibilidade.
Passo 2
Base da indução (
):
Calculamos . Como
é múltiplo de qualquer inteiro não nulo, em particular de
, temos
Calculamos
Passo 3
Hipótese de indução:
Suponha que, para algum , já sabemos que
Suponha que, para algum
Isso significa que existe um inteiro
tal que
.
Passo 4
Passo indutivo (
):
Precisamos mostrar que . Observe:
Precisamos mostrar que
Pela hipótese de indução,
, logo
. Assim
ou seja, é múltiplo de
. Portanto
.
Resposta
Pelo princípio da indução matemática, segue que para todo
vale
.