Sejam a, b in Z e n in N cup0. Mostre que
a+b mid a^2 n+1+b^2 n+1
Use esse fato para mostrar que 13 mid 2^70+3^70.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros a,b e n>=0 inteiro, o número a+b divide a soma de potências ímpares
a^2n+1+b^2n+1
Para isso vamos usar a fatoração clássica de soma de potências ímpares. Em seguida, aplicamos esse resultado ao caso 2^70+3^70.

Passo 2

Vamos mostrar que a+b é fator de a^2n+1+b^2n+1. Pense em dividir o polinômio
X^2n+1+Y^2n+1
por X+Y. Pelo resto da divisão de polinômios, basta avaliar em X=-Y:
(-Y)^2n+1+Y^2n+1=-Y^2n+1+Y^2n+1=0
Logo X+Y é fator, isto é,
a^2n+1+b^2n+1=(a+b)l(a^2n-a^2n-1b+cdots -a b^2n-1+b^2nr)

Passo 3

No produto acima todos os coeficientes são inteiros, então o quociente é inteiro. Concluímos
a+bmid a^2n+1+b^2n+1

Passo 4

Para aplicar ao caso numérico, note que 70=5cdot14. Defina
A=2^14, B=3^14, n=2,
então
A^2n+1+B^2n+1=(2^14)^5+(3^14)^5=2^70+3^70
Pelo passo anterior, A+B divide 2^70+3^70.

Passo 5

Basta mostrar que 13mid A+B=2^14+3^14. Como gcd(2,13)=gcd(3,13)=1, o Pequeno Teorema de Fermat diz que
2^12equiv1pmod13, 3^12equiv1pmod13
Logo
2^14=2^12cdot2^2equiv1cdot4=4pmod13,
3^14=3^12cdot3^2equiv1cdot9=9pmod13,
e portanto
2^14+3^14equiv4+9=13equiv0pmod13

Resposta

Logo, 13mid2^70+3^70.

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