Sejam
e
. Mostre que
Use esse fato para mostrar que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros
e
inteiro, o número
divide a soma de potências ímpares
Para isso vamos usar a fatoração clássica de soma de potências ímpares. Em seguida, aplicamos esse resultado ao caso
.
Passo 2
Vamos mostrar que
é fator de
. Pense em dividir o polinômio
por
. Pelo resto da divisão de polinômios, basta avaliar em
:
Logo
é fator, isto é,
Passo 3
No produto acima todos os coeficientes são inteiros, então o quociente é inteiro. Concluímos
Passo 4
Para aplicar ao caso numérico, note que
. Defina
então
Pelo passo anterior,
divide
.
Passo 5
Basta mostrar que
. Como
, o Pequeno Teorema de Fermat diz que
Logo
e portanto
Resposta
Logo,
.