Sejam a, b, c in Z e c neq 0. Mostre que:
(a) a mid b e b mid a se, e somente se, |a|||b|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para a,binZ, que
amid be bmid a Long<=ftrightarrow |a| = |b|
Vamos usar a definição de divisibilidade em Z: dizer amid b significa que existe kinZ tal que b = a,k.

Passo 2

Prova da implicação “ Rightarrow”: suponha amid b e bmid a.
Então existem k,ellinZ tais que
b = a,k, a = b,ell
Substituindo a segunda na primeira:
a = (a,k),ell = a,(kell),
logo
a,(kell - 1) = 0
Há duas possibilidades:
  1. Se a = 0, então b = a,k = 0 e portanto |a|=0=|b|.
  2. Se aneq0, então kell -1=0, isto é, kell=1. Como k,ellinZ, só resta k=ell=1 ou k=ell=-1. Em ambos os casos b=a,k=pm a, de onde |b|=|a|.

Passo 3

Prova da implicação “ Leftarrow”: suponha |a|=|b|.
Então b=pm a.
  • Se b=a, então b=acdot1 implica amid b e a=bcdot1 implica bmid a.
  • Se b=-a, então b=acdot(-1) implica amid b e a=bcdot(-1) implica bmid a.

Resposta

Ficou demonstrado que
amid be bmid a Long<=ftrightarrow |a| = |b|

Exercícios relacionados