Sejam
e
. Mostre que:
(a)
e
se, e somente se,
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, para
, que
Vamos usar a definição de divisibilidade em
: dizer
significa que existe
tal que
.
Passo 2
Prova da implicação “
”: suponha
e
.
Então existem tais que
Então existem
Substituindo a segunda na primeira:
logo
Há duas possibilidades:
- Se
, então e portanto . - Se
, então , isto é, . Como , só resta ou . Em ambos os casos , de onde .
Passo 3
Prova da implicação “
”: suponha
.
Então .
Então
- Se
, então implica e implica . - Se
, então implica e implica .
Resposta
Ficou demonstrado que