Prove que se x e y não se anulam simultaneamente então x^{2}+x y+y^{2}>0.

Passo 1

Estamos no conjunto dos números reais e queremos provar que, para quaisquer (x,y)\neq(0,0), vale
x^{2}+x\,y+y^{2}>0.
Para isso, vamos usar o método de completamento de quadrado, que mostra a expressão como soma de quadrados (sempre não-negativos), e verificar quando essa soma pode ser zero.

Passo 2

Observemos que
x^{2}+x\,y+y^{2} =(x+\tfrac{y}{2})^{2}+\tfrac{3}{4}\,y^{2}.
De fato, expandindo (x+\tfrac y2)^2 obtemos x^2+x\,y+\tfrac{y^2}{4} e somando \tfrac{3}{4}y^2 recuperamos x^2+x\,y+y^2. Como (x+\tfrac y2)^2\ge0 e \tfrac{3}{4}y^2\ge0, segue que
x^{2}+x\,y+y^{2}\ge0,
com igualdade só se
x+\tfrac{y}{2}=0 \quad\text{e}\quad y=0.
Mas y=0 implica também x=0, o que contraria (x,y)\neq(0,0). Logo, sob essa hipótese, não pode ocorrer igualdade e necessariamente
x^{2}+x\,y+y^{2}>0.

Resposta

Portanto, se x e y não se anulam simultaneamente, então
x^{2}+x\,y+y^{2}>0.

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