Mostre que:
\int_{2}^{3} \frac{2 x+3}{\left(x^{2}+3 x\right)^{3}} d x=\frac{7}{2025}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral
\int_{2}^{3} \frac{2x+3}{\bigl(x^{2}+3x\bigr)^{3}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição: se a parte de cima da fração for a derivada da parte de baixo, fica bem simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 3x,
então
du = (2x + 3)\,dx.
Quando x=2, u = 2^{2} + 3\cdot2 = 4 + 6 = 10.
Quando x=3, u = 3^{2} + 3\cdot3 = 9 + 9 = 18.
A integral vira
\int_{u=10}^{u=18} u^{-3}\,du.

Passo 3

Para integrar u^{-3}, usamos a regra
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1},\quad n\neq -1.
Aqui n=-3, então
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2\,u^{2}}.

Passo 4

Avaliamo-s essa primitiva de u=10 até u=18:
\left[-\frac{1}{2u^{2}}\right]_{10}^{18} = \Bigl(-\frac{1}{2\cdot18^{2}}\Bigr) \;-\;\Bigl(-\frac{1}{2\cdot10^{2}}\Bigr) = \frac{1}{2\cdot10^{2}} \;-\; \frac{1}{2\cdot18^{2}}.

Passo 5

Agora simplificamos:
\frac{1}{2\cdot10^{2}} - \frac{1}{2\cdot18^{2}} = \frac{1}{200} - \frac{1}{648} = \frac{324 - 100}{64800} = \frac{224}{64800} = \frac{7}{2025}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{2025}

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