Mostre que:
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos (x) e^{\operatorname{sen}(x)} d x=e^{\frac{1}{2}}-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(x)\,e^{\sin(x)}\,dx = e^{\tfrac12}-1.
O conteúdo envolvido é o de integrais definidas e a técnica de substituição de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin(x), \quad du = \cos(x)\,dx.
Nos limites: quando x=0, tem-se u=\sin(0)=0; quando x=\tfrac\pi6, tem-se u=\sin(\tfrac\pi6)=\tfrac12.

Passo 3

Sob essa mudança de variável, a integral original transforma-se em
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(x)\,e^{\sin(x)}\,dx = \int_{u=0}^{u=\tfrac12} e^{u}\,du.

Passo 4

Calculamos a integral de e^u:
\int_{0}^{\frac12} e^{u}\,du = \bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{\frac12} = e^{\frac12}-e^{0} = e^{\frac12}-1.

Resposta

e^{\tfrac12}-1

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