Mostre que:
\int_{1}^{2} \ln \left(x^{2} e^{x}\right) d x=4 \ln 2-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2}\ln\bigl(x^{2}e^{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é integração de logaritmo, para a qual vamos usar a propriedade
\ln\bigl(x^{2}e^{x}\bigr)=\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\ln\bigl(e^{x}\bigr)=2\ln x + x,
e as fórmulas conhecidas
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C, \qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 2

Usando a identidade do logaritmo, escrevemos
\int_{1}^{2}\ln\bigl(x^{2}e^{x}\bigr)\,dx = \int_{1}^{2}\bigl(2\ln x + x\bigr)\,dx =2\int_{1}^{2}\ln x\,dx \;+\;\int_{1}^{2}x\,dx.

Passo 3

Calculemos a primeira parte. Como
\int \ln x\,dx = x\ln x - x,
temos
2\int_{1}^{2}\ln x\,dx =2\Bigl[(2\ln2 - 2) - (1\cdot\ln1 - 1)\Bigr] =2\bigl(2\ln2 - 2 +1\bigr) =2\bigl(2\ln2 -1\bigr) =4\ln2 -2.

Passo 4

Agora a segunda parcela:
\int_{1}^{2}x\,dx =\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{1}^{2} =\frac{4-1}{2} =\frac{3}{2}.

Passo 5

Somando os dois resultados:
\int_{1}^{2}\ln\bigl(x^{2}e^{x}\bigr)\,dx =\bigl(4\ln2 -2\bigr) + \frac{3}{2} =4\ln2 - \frac{1}{2}.

Resposta

\int_{1}^{2}\ln\bigl(x^{2}e^{x}\bigr)\,dx =4\ln2 - \tfrac12.

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