Mostre que:
\int_{1}^{2} x^{2} \ln (x) d x=\frac{8}{3} \ln 2-\frac{7}{9}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} x^{2} \ln(x)\,dx
usando técnicas de cálculo integral de nível de graduação. Vamos aplicar o método de integração por partes.

Passo 2

Lembrando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Aqui escolhemos
u = \ln(x), \quad dv = x^{2}\,dx
para simplificar a integral.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Substituindo na fórmula de partes,
\int x^{2}\ln(x)\,dx = \ln(x)\,\frac{x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx.

Passo 4

Continuando a integração,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},
logo a antiderivada fica
F(x) = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{x^{3}}{9}.

Passo 5

Agora avaliamos de 1 a 2:
\int_{1}^{2} x^{2}\ln(x)\,dx = F(2) - F(1) = \Bigl(\frac{8}{3}\ln(2)-\frac{8}{9}\Bigr) - \Bigl(\frac{1}{3}\ln(1)-\frac{1}{9}\Bigr).
Como \ln(1)=0, isso simplifica para
\frac{8}{3}\ln(2)-\frac{8}{9} + \frac{1}{9} = \frac{8}{3}\ln(2)-\frac{7}{9}.

Resposta

\int_{1}^{2} x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{8}{3}\ln(2) - \frac{7}{9}.

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