Mostre que:
\int_{4}^{9} \frac{2}{x-3} d x=2 \ln 6

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
\int_{4}^{9} \frac{2}{x-3}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função do tipo \frac1{x-a} e vamos usar a substituição u=x-3.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = x - 3,\quad du = dx,
a integral original passa a ser
\int_{x=4}^{x=9} \frac{2}{x-3}\,dx = 2\int_{x=4}^{x=9} \frac{1}{u}\,du.

Passo 3

Precisamos mudar os limites de integração para u:
quando x=4, u=4-3=1;
quando x=9, u=9-3=6.
Logo a integral fica
2\int_{1}^{6} \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Sabendo que
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C,
temos
2\int_{1}^{6} \frac{1}{u}\,du = 2\bigl[\ln|u|\bigr]_{1}^{6} = 2\bigl(\ln 6 - \ln 1\bigr).
Como \ln 1 = 0, resta
2\ln 6.

Resposta

\int_{4}^{9} \frac{2}{x-3}\,dx = 2\ln 6.

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