Mostre que:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x \operatorname{sen}(x) d x=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O objetivo é calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x \sin x \,dx.
Vamos usar o método de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x,\quad dv = \sin x\,dx.
Então
du = dx, \quad v = \int \sin x\,dx = -\cos x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes em \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}x\sin x\,dx, obtemos
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}x\sin x\,dx = \Bigl.u\,v\Bigr|_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}v\,du = \Bigl.-x\cos x\Bigr|_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(-\cos x)\,dx.

Passo 4

Avaliamo separadamente cada termo:
\Bigl.-x\cos x\Bigr|_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\frac{\pi}{3}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) - 0\cdot\cos(0) = -\frac{\pi}{3}\cdot\frac12 = -\frac{\pi}{6},
- \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(-\cos x)\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos x\,dx = \sin x\Big|_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Somando os dois resultados, temos
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}x\sin x\,dx = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac12\Bigl(\sqrt{3} - \tfrac{\pi}{3}\Bigr).

Resposta

\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x \sin x \,dx = \frac12\Bigl(\sqrt{3} - \tfrac{\pi}{3}\Bigr).

Exercícios relacionados