Mostre que:
\int_{1}^{4} \ln (\sqrt{x}) d x=4 \ln 2-\frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4} \ln\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx.
Isso envolve técnicas de integração de funções logarítmicas e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Usamos a propriedade \ln(\sqrt{x}) = \tfrac{1}{2}\ln(x). Logo
\int_{1}^{4} \ln\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx = \int_{1}^{4} \frac{1}{2}\ln(x)\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{4}\ln(x)\,dx.

Passo 3

Para \int \ln(x)\,dx aplicamos integração por partes, escolhendo
\displaystyle u = \ln(x) e dv = dx.
Então du = \frac{1}{x}\,dx e v = x. A fórmula dá
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx = x\ln(x) - x + C.

Passo 4

Voltando à integral definida, temos
\int_{1}^{4}\ln(x)\,dx =\bigl[x\ln(x)-x\bigr]_{1}^{4} =\bigl(4\ln(4)-4\bigr)-\bigl(1\cdot\ln(1)-1\bigr) =4\ln(4)-4- (0-1) =4\ln(4)-3.
Multiplicando por \tfrac{1}{2},
\frac{1}{2}\int_{1}^{4}\ln(x)\,dx =\frac{1}{2}\bigl(4\ln(4)-3\bigr) =2\ln(4)-\frac{3}{2}.
Como \ln(4)=2\ln(2), obtemos
2\ln(4)-\frac{3}{2} =2\cdot 2\ln(2)-\frac{3}{2} =4\ln(2)-\frac{3}{2}.

Resposta

\int_{1}^{4}\ln\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx =4\ln(2)-\frac{3}{2}.

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