Mostre que as integrais a seguir não dependem do caminho
escolhido. Calcule essas integrais:
, onde
é qualquer caminho de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha da forma diferencial
entre os pontos e
não depende de qual caminho
é escolhido, e em seguida calcular esse valor.
Conteúdo: formas diferenciais exatas em domínios simplesmente conexos e teorema fundamental das integrais de linha.
entre os pontos
Conteúdo: formas diferenciais exatas em domínios simplesmente conexos e teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Verificamos que
é fechada (curl nulo) em
, que é simplesmente conexo. Defina
Então
Como todas as condições de fechamento são satisfeitas (
),
é exata.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
.
Integramos
Integramos
em relação a
, obtendo
Para ajustar
devemos ter
, logo
.
Depois, de
Depois, de
vem
. Podemos tomar
. Assim
Passo 4
Pelo teorema fundamental das integrais de linha para formas exatas,
Calculamos
logo
Resposta
A integral independe do caminho escolhido e vale
.