Mostre que as integrais a seguir não dependem do caminho C escolhido. Calcule essas integrais: integralC(2 x y d x+x^2 d y+z d z), onde C é qualquer caminho de (0,1,1) a (1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha da forma diferencial
omega = 2xy,dx + x^2,dy + z,dz
entre os pontos A=(0,1,1) e B=(1,0,1) não depende de qual caminho C é escolhido, e em seguida calcular esse valor.
Conteúdo: formas diferenciais exatas em domínios simplesmente conexos e teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Verificamos que omega é fechada (curl nulo) em R^3, que é simplesmente conexo. Defina
P(x,y,z)=2xy, Q(x,y,z)=x^2, R(x,y,z)=z
Então
partial Ppartial y=2x, partial Qpartial x=2x, partial Ppartial z=partial Rpartial x=0, partial Qpartial z=partial Rpartial y=0
Como todas as condições de fechamento são satisfeitas ( domega=0), omega é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial F(x,y,z) tal que nabla F=(P,Q,R).
Integramos
partial Fpartial x=2xy
em relação a x, obtendo
F(x,y,z)=integral 2xy,dx = x^2y + h(y,z)
Para ajustar partial F/partial y=x^2+hy(y,z)=x^2 devemos ter hy=0, logo h=h(z).
Depois, de
partial Fpartial z=h'(z)=z
vem h(z)=tfrac12,z^2 + C. Podemos tomar C=0. Assim
F(x,y,z)=x^2y + tfrac12,z^2

Passo 4

Pelo teorema fundamental das integrais de linha para formas exatas,
integralComega = Fl(Br)-Fl(Ar)
Calculamos
F(1,0,1)=1^2cdot0 + tfrac12cdot1^2 = tfrac12, F(0,1,1)=0^2cdot1 + tfrac12cdot1^2 = tfrac12,
logo
integralCl(2xy,dx + x^2,dy + z,dzr) = tfrac12 - tfrac12 = 0

Resposta

A integral independe do caminho escolhido e vale 0.

Exercícios relacionados