Questão 2. Ache a solução do PVI dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
t d yd t+y=e^t, y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
t,dydt+y=e^t, y(1)=2
Este é uma EDO linear de primeira ordem. Vamos colocá-la na forma padrão, achar o fator integrante, resolver e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, dividindo por t (com tneq0):
dydt + 1t,y = e^tt

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = expl(integral 1t,dtr) = exp(ln|t|) = |t|
Como queremos a solução que contém t=1>0, tomamos mu(t)=t.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t obtemos
t,dydt + y = e^t,
e reconhecemos o lado esquerdo como
ddtl(t,yr) = e^t

Passo 5

Integrando ambos os lados:
t,y = integral e^t,dt = e^t + C Longrightarrow y = e^t + Ct

Passo 6

Aplicando y(1)=2:
2 = e^1 + C1 = e + C Longrightarrow C = 2 - e
Logo
y(t) = e^t + 2 - et

Passo 7

A EDO original exige tneq0. Como a condição inicial está em t=1, o maior intervalo de existência que contém 1 é (0,infty).

Resposta

A solução do PVI é
y(t) = e^t + 2 - et,
e ela está definida no intervalo (0,infty).

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