Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha:
, onde C é a circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha específica:
Aqui, a curva
é a circunferência dada por
. O Teorema de Green é uma ferramenta matemática que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva delimita. Isso vai facilitar nossa vida para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
No nosso caso, identificamos
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla da constante 2 sobre a região
, que é a área dentro da circunferência
.
A área de um círculo é dada por
, onde
é o raio. Aqui,
, então
.
Portanto, a área
de
é:
Passo 5
Multiplicando a constante 2 pela área
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.