Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha: ointC(x^2-y) d x+x d y, onde C é a circunferência x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha específica:
ointC(x^2-y) dx + x dy
Aqui, a curva C é a circunferência dada por x^2 + y^2 = 9 . O Teorema de Green é uma ferramenta matemática que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva delimita. Isso vai facilitar nossa vida para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada C que delimita uma região D , temos:
ointC (M dx + N dy) = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA
No nosso caso, identificamos M = x^2 - y e N = x . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas:
  • partial Npartial x = partial xpartial x = 1
  • partial Mpartial y = partial (x^2 - y)partial y = -1
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 1 - (-1) ) dA = integral duplaD 2 , dA

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla da constante 2 sobre a região D , que é a área dentro da circunferência x^2 + y^2 = 9 .
A área de um círculo é dada por pi r^2 , onde r é o raio. Aqui, r^2 = 9 , então r = 3 .
Portanto, a área A de D é:
A = pi times 3^2 = 9pi

Passo 5

Multiplicando a constante 2 pela área A :
integral duplaD 2 , dA = 2 times 9pi = 18pi

Resposta

A integral de linha é igual a 18pi .

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