Mostre que as integrais a seguir não dependem do caminho C escolhido. Calcule essas integrais: integralC(2 x sen y) d x+(x^2 cos y-3 y^2) d y, onde C é qualquer caminho de (-1,0) a (3,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a integral dada não depende do caminho escolhido entre os pontos (-1,0) e (3,2). Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Vamos precisar verificar se o campo vetorial associado é conservativo e, se for, calcular a integral usando uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes da integral. Temos:
P(x, y) = 2x sin y
Q(x, y) = x^2 cos y - 3y^2
Para verificar se a integral é independente do caminho, precisamos ver se o campo vetorial F = (P, Q) é conservativo. Isso acontece se as derivadas parciais cruzadas forem iguais, ou seja:
partial Ppartial y = partial Qpartial x

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partialpartial y (2x sin y) = 2x cos y
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 cos y - 3y^2) = 2x cos y
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial f(x, y) tal que:
partial fpartial x = P = 2x sin y
partial fpartial y = Q = x^2 cos y - 3y^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial f(x, y). Integramos P em relação a x:
f(x, y) = integral 2x sin y , dx = x^2 sin y + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende só de y. Para encontrar g(y), derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos a Q:
partial fpartial y = x^2 cos y + g'(y) = x^2 cos y - 3y^2
Então:
g'(y) = -3y^2
Integrando:
g(y) = -y^3 + C
Podemos ignorar a constante C pois vai se cancelar na diferença. Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = x^2 sin y - y^3

Passo 5

Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral simplesmente avaliando f nos pontos finais e subtraindo:
integralC (2x sin y) dx + (x^2 cos y - 3y^2) dy = f(3, 2) - f(-1, 0)
Calculamos f(3,2):
f(3, 2) = 3^2 sin 2 - 2^3 = 9 sin 2 - 8
E f(-1,0):
f(-1, 0) = (-1)^2 sin 0 - 0^3 = 1 times 0 - 0 = 0

Resposta

Então, a integral vale:
9 sin 2 - 8

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