Mostre que as integrais a seguir não dependem do caminho
escolhido. Calcule essas integrais:
, onde
é qualquer caminho de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a integral dada não depende do caminho escolhido entre os pontos
e
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Vamos precisar verificar se o campo vetorial associado é conservativo e, se for, calcular a integral usando uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, identificamos as componentes da integral. Temos:
Para verificar se a integral é independente do caminho, precisamos ver se o campo vetorial
é conservativo. Isso acontece se as derivadas parciais cruzadas forem iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
. Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Integrando:
Podemos ignorar a constante
pois vai se cancelar na diferença. Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral simplesmente avaliando
nos pontos finais e subtraindo:
Calculamos
:
E
:
Resposta
Então, a integral vale: