Questão 2. Ache a solução do PVI dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
t d yd t+y=4 t+1, y(1)=8

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
t,dydt + y = 4t + 1, y(1)=8
É uma equação diferencial linear de primeira ordem em y(t). Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo por t (supondo tneq0), obtemos a forma padrão
dydt + 1t,y = 4 + 1t

Passo 3

O fator integrante mu(t) é
mu(t) = expl(integral 1t,dtr) = exp(ln |t|) = t,
considerando t>0 no entorno de t=1.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t, fica
t,dydt + y = ddtl(t,yr) e tl(4 + 1tr) = 4t + 1
Logo
ddtl(t,yr) = 4t + 1

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
t,y = integral (4t + 1),dt = 2t^2 + t + C,
portanto a solução geral é
y(t) = 2t + 1 + Ct

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=8:
8 = 2cdot1 + 1 + C1 ;Longrightarrow; 8 = 3 + C ;Longrightarrow; C = 5
Assim
y(t) = 2t + 1 + 5t

Passo 7

Como a equação foi dividida por t, a solução existe em intervalos que não contenham t=0. Dado que o ponto inicial é t=1, o maior intervalo de definição é
(0,infty)

Resposta

y(t) = 2t + 1 + 5t, tin(0,infty)

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