Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
\int_{0}^{3} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{3} x^{2}\,dx
usando a definição de integral como limite de somas de Riemann (Teorema 4). Vamos particionar o intervalo [0,3], montar a soma de Riemann com pontos no final de cada subintervalo e depois tomar o limite quando o número de subintervalos n tende a infinito.

Passo 2

Particionamos [0,3] em n subintervalos iguais de comprimento
\Delta x = \frac{3-0}{n} = \frac{3}{n}.
Escolhemos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo:
\;x_{i} = 0 + i\,\Delta x = \frac{3i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.
A soma de Riemann é
\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \Bigl(x_{i}\Bigr)^{2}\,\frac{3}{n}.

Passo 3

Como \bigl(x_{i}\bigr)^{2} = \bigl(3i/n\bigr)^{2} = 9\,i^{2}/n^{2}, a soma fica
\sum_{i=1}^{n} \frac{9\,i^{2}}{n^{2}}\;\frac{3}{n} = \frac{27}{n^{3}} \sum_{i=1}^{n} i^{2}.
Usando a fórmula \sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, obtemos
\frac{27}{n^{3}}\;\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{27\,n(n+1)(2n+1)}{6\,n^{3}}.

Passo 4

Tomamos o limite quando n\to\infty:
\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = \lim_{n\to\infty} \frac{27\,n(n+1)(2n+1)}{6\,n^{3}} = \frac{27}{6}\;\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{n^{3}} = \frac{27}{6}\cdot 2 = 9.

Resposta

\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = 9.

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