Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
\int_{0}^{2} 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{2}3x\,dx
usando a definição de integral de Riemann (Teorema 4). Vamos particionar o intervalo [0,2] em n subintervalos de mesma largura e montar a soma de Riemann, para depois tomar o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Definimos uma partição uniforme de [0,2] com
\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}.
Escolhemos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo, isto é,
\;x_i = 0 + i\,\Delta x = \frac{2i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.
A soma de Riemann fica então:
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} 3x_i\;\frac{2}{n} = \sum_{i=1}^{n} 3\cdot\frac{2i}{n}\,\frac{2}{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{12\,i}{n^2} = \frac{12}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i.

Passo 3

Usando a fórmula da soma dos primeiros n inteiros,
\sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2},
temos
S_n = \frac{12}{n^2}\,\frac{n(n+1)}{2} = \frac{12\,n(n+1)}{2\,n^2} = \frac{6(n+1)}{n} = 6 + \frac{6}{n}.
Agora basta fazer n\to\infty: o termo \tfrac{6}{n} vai a zero, logo
\int_{0}^{2}3x\,dx = \lim_{n\to\infty}S_n = 6.

Resposta

6

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