Mostre que a integral imprópria integral0^+infty cos (x) e^-2 x d x é convergente e calcule seu valor.
[Use integração por partes para calcular a primitiva].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
integral0^+inftycos(x)e^-2x,dx
é convergente e calcular seu valor. O conteúdo envolvido é teste de convergência de integrais impróprias (comparação e convergência absoluta) e cálculo de primitiva por integração por partes.

Passo 2

Para ver que ela converge, note que
l|cos(x)e^-2xr|<= e^-2x
e sabemos que
integral0^+inftye^-2x,dx = l[-tfrac12e^-2xr]0^infty = tfrac12 < infty
Como integral0^inftye^-2x,dx converge, pela comparação a integral dada converge absolutamente.

Passo 3

Agora vamos achar uma primitiva de cos(x)e^-2x por partes duas vezes. Defina
I(x)=integral cos(x)e^-2x,dx
  1. Integração por partes com u=cos(x), dv=e^-2xdx
I(x) = -tfrac12e^-2xcos(x) -tfrac12integral e^-2x(-sin(x)),dx = -tfrac12e^-2xcos(x) -tfrac12!integral e^-2xsin(x),dx
  1. Chame agora J(x)=integral e^-2xsin(x),dx. Aplicando partes em J(x) com u=sin(x), dv=e^-2xdx resulta em
J(x) = -tfrac12e^-2xsin(x) + tfrac12integral e^-2xcos(x),dx = -tfrac12e^-2xsin(x) + tfrac12,I(x)
Substituindo J(x) em I(x) obtemos
I(x) = -tfrac12e^-2xcos(x) -tfrac12l(-tfrac12e^-2xsin(x) + tfrac12I(x)r) = -tfrac12e^-2xcos(x) + tfrac14e^-2xsin(x) - tfrac14I(x)
Somando tfrac14I(x) aos dois lados dá tfrac54I(x)=e^-2xl(-tfrac12cos(x)+tfrac14sin(x)r), logo
I(x)=integral cos(x)e^-2x,dx = e^-2x-2cos(x)+sin(x)5 + C

Passo 4

Para a integral imprópria, usamos F(x)=e^-2x-2cos(x)+sin(x)5 e calculamos
integral0^inftycos(x)e^-2x,dx = limbtoinfty l[F(b)-F(0)r]
Como e^-2bl(-2cos(b)+sin(b)r)to0 quando btoinfty e
F(0)=e^0-2cos(0)+sin(0)5=-2cdot1+05=-25,
temos
integral0^inftycos(x)e^-2x,dx = 0 - l(-tfrac25r) = tfrac25

Resposta

integral0^+inftycos(x)e^-2x,dx = 25

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