Mostre que a integral é independente do caminho e use o Teorema 15.3.1 para determinar seu valor.
integral(0,0)^(1, pi / 2) e^x sen y d x+e^x cos y d y

Passo 1

Essa integral de linha tem a forma integralC P(x,y),dx + Q(x,y),dy com P(x,y)=e^xseny e Q(x,y)=e^xcos y. O conteúdo aqui é de campos conservativos e o Teorema 15.3.1 (que diz que se em um domínio simplesmente conexo Py=Qx, então a integral é independente do caminho e vale a diferença de um potencial).

Passo 2

Precisamos checar a condição de exatidão: calculemos as derivadas parciais
partial Ppartial y(x,y)=e^xcos y,
e
partial Qpartial x(x,y)=e^xcos y
Como Py=Qx em todo o plano (que é simplesmente conexo), o campo é conservativo e a integral independe do caminho.

Passo 3

Vamos achar uma função potencial f(x,y) tal que
partial fpartial x(x,y)=P(x,y)=e^xseny
Integramos em relação a x:
f(x,y)=integral e^xseny,dx=e^xseny + C(y),
onde C(y) é uma função só de y. Para determinar C(y), usamos
partial fpartial y(x,y)=e^xcos y + C'(y)
e impomos que isso seja igual a Q(x,y)=e^xcos y. Logo C'(y)=0, isto é, C(y) é constante e podemos tomar 0.

Passo 4

Pelo Teorema 15.3.1, a integral vale a diferença do potencial entre os pontos finais e iniciais. Portanto
integral(0,0)^(1,pi/2) e^xseny,dx + e^xcos y,dy = fl(1,tfracpi2r)-f(0,0) = e^1sentfracpi2 - e^0sen0 = ecdot1 - 1cdot0

Resposta

e

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