Mostre que a integral é independente do caminho e use o Teorema 15.3.1 para determinar seu valor.
Passo 1
Essa integral de linha tem a forma
com
e
. O conteúdo aqui é de campos conservativos e o Teorema 15.3.1 (que diz que se em um domínio simplesmente conexo
, então a integral é independente do caminho e vale a diferença de um potencial).
Passo 2
Precisamos checar a condição de exatidão: calculemos as derivadas parciais
e
Como
em todo o plano (que é simplesmente conexo), o campo é conservativo e a integral independe do caminho.
Passo 3
Vamos achar uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma função só de
. Para determinar
, usamos
e impomos que isso seja igual a
. Logo
, isto é,
é constante e podemos tomar 0.
Passo 4
Pelo Teorema 15.3.1, a integral vale a diferença do potencial entre os pontos finais e iniciais. Portanto
Resposta
e