Mostre que:
(Dica: olhe o Butkov, página 475)
Passo 1
Nessa questão queremos mostrar que
. O conteúdo envolve os polinômios de Hermite, sua fórmula de Rodrigues e a integral gaussiana básica. Vamos usar essas ferramentas para chegar ao resultado.
Passo 2
Os polinômios de Hermite são definidos pela fórmula de Rodrigues:
Também sabemos a integral gaussiana
Esses dois pontos são o que precisamos.
Passo 3
Vamos inserir a fórmula de Rodrigues dentro da integral. Observe que
Logo, a integral fica
Passo 4
Agora aplicamos integração por partes n vezes, cada vez transferindo uma derivada de
para
. Como
decai muito rápido em
, todos os termos de contorno são zero. Cada parte traz um fator
, totalizando
. Assim obtemos
Passo 5
Por fim usamos que o polinômio
é de grau
com coeficiente líder
, então
Substituindo na integral, vem
Resposta
2^{n} n! \sqrt{\pi}