Mostre que:
integral-infty^+infty e^-z^2[Hn(z)]^2 d z=2^n n!raizpi
(Dica: olhe o Butkov, página 475)

Passo 1

Nessa questão queremos mostrar que integral-infty^+infty e^-z^2[Hn(z)]^2dz=2^nn!raizpi. O conteúdo envolve os polinômios de Hermite, sua fórmula de Rodrigues e a integral gaussiana básica. Vamos usar essas ferramentas para chegar ao resultado.

Passo 2

Os polinômios de Hermite são definidos pela fórmula de Rodrigues:
Hn(z)=(-1)^ne^z^2d^ndz^nl(e^-z^2r)
Também sabemos a integral gaussiana
integral-infty^+inftye^-z^2dz=raizpi
Esses dois pontos são o que precisamos.

Passo 3

Vamos inserir a fórmula de Rodrigues dentro da integral. Observe que
e^-z^2Hn(z)=(-1)^nd^ndz^nl(e^-z^2r)
Logo, a integral fica
integral-infty^+inftye^-z^2[Hn(z)]^2dz=(-1)^nintegral-infty^+inftyHn(z),d^ndz^nl(e^-z^2r)dz

Passo 4

Agora aplicamos integração por partes n vezes, cada vez transferindo uma derivada de e^-z^2 para Hn(z). Como e^-z^2 decai muito rápido em pminfty, todos os termos de contorno são zero. Cada parte traz um fator (-1), totalizando (-1)^n. Assim obtemos
(-1)^n(-1)^nintegral-infty^+inftye^-z^2d^nHn(z)dz^ndz=integral-infty^+inftye^-z^2d^nHn(z)dz^ndz

Passo 5

Por fim usamos que o polinômio Hn(z) é de grau n com coeficiente líder 2^n, então
d^nHn(z)dz^n=2^nn!
Substituindo na integral, vem
integral-infty^+inftye^-z^2[Hn(z)]^2dz=2^nn!integral-infty^+inftye^-z^2dz=2^nn!raizpi

Resposta

2^{n} n! \sqrt{\pi}

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