Mostre que:
varphi(x)=1raizbeta varphi(x=xbeta)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como a função varphi(x), normalizada no espaço de Hilbert com a variável x, se transforma quando introduzimos a nova variável x=beta,x. O conteúdo envolve mudança de variável em integrais e o uso do jacobiano para preservar a normalização de varphi.

Passo 2

Começamos lembrando a condição de normalização de varphi(x):
integral-infty^+infty |varphi(x)|^2 ,dx = 1
Para conservar essa mesma normalização após a mudança de variável, vamos definir uma nova função varphi(x) em que a integral sobre x também seja unitária.

Passo 3

Introduzimos a mudança de variável
x = beta,x
daí
x = xbeta, d x = dxbeta

Passo 4

Impondo a normalização de varphi(x):
integral-infty^+infty |varphi(x)|^2 ,dx = 1
substituímos dx=beta,dx na integral original de varphi(x) e pedimos que o integrando se mantenha o mesmo em módulo ao trocar x por x.

Passo 5

Para que
integral |varphi(x)|^2 ,dx = integral |varphi(x)|^2 ,dx =1
devemos ter
|varphi(x)|^2 = 1beta,|varphi(x)|^2
e, escolhendo as fases iguais, resulta
varphi(x) = 1raizbeta,varphil(x=tfracxbetar)

Resposta

varphi(x)=1raizbeta,varphil(x=tfracxbetar)

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