Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar como a função
, normalizada no espaço de Hilbert com a variável
, se transforma quando introduzimos a nova variável
. O conteúdo envolve mudança de variável em integrais e o uso do jacobiano para preservar a normalização de
.
Passo 2
Começamos lembrando a condição de normalização de
:
Para conservar essa mesma normalização após a mudança de variável, vamos definir uma nova função
em que a integral sobre
também seja unitária.
Passo 3
Introduzimos a mudança de variável
daí
Passo 4
Impondo a normalização de
:
substituímos
na integral original de
e pedimos que o integrando se mantenha o mesmo em módulo ao trocar
por
.
Passo 5
Para que
devemos ter
e, escolhendo as fases iguais, resulta