Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de
como um limite. Não calcule o limite.
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a área sob o gráfico da função
no intervalo de
até
. Vamos usar a Definição 2, que basicamente nos ajuda a calcular essa área usando somas de retângulos e depois fazendo esses retângulos ficarem cada vez menores. Para isso, vamos precisar entender como dividir o intervalo em partes menores e somar as áreas desses retângulos para aproximar a área total.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, que a gente chama de
, é dado por:
Isso significa que cada pedaço do intervalo tem largura
.
Passo 3
Agora, vamos escolher pontos de amostragem para cada subintervalo. Uma escolha comum é usar o ponto direito de cada subintervalo. Assim, o ponto
no
-ésimo subintervalo é:
onde
vai de 1 até
.
Passo 4
Com os pontos de amostragem definidos, a soma de Riemann que aproxima a área é a soma das áreas de todos os retângulos. A altura de cada retângulo é dada por
, então a soma fica:
Passo 5
Para encontrar a área real, precisamos levar o número de subintervalos
para o infinito. Isso significa que estamos refinando a nossa soma de retângulos para que ela se aproxime cada vez mais da área exata. Então, a área sob o gráfico de
é o limite da soma de Riemann quando
tende ao infinito:
Resposta
A área sob o gráfico de
de
a
é dada por