Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Não calcule o limite. f(x) = x + ln(x), 2 <= x <= 6

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a área sob o gráfico da função no intervalo de até . Vamos usar a Definição 2, que basicamente nos ajuda a calcular essa área usando somas de retângulos e depois fazendo esses retângulos ficarem cada vez menores. Para isso, vamos precisar entender como dividir o intervalo em partes menores e somar as áreas desses retângulos para aproximar a área total.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, que a gente chama de , é dado por:
Isso significa que cada pedaço do intervalo tem largura .

Passo 3

Agora, vamos escolher pontos de amostragem para cada subintervalo. Uma escolha comum é usar o ponto direito de cada subintervalo. Assim, o ponto no -ésimo subintervalo é:
onde vai de 1 até .

Passo 4

Com os pontos de amostragem definidos, a soma de Riemann que aproxima a área é a soma das áreas de todos os retângulos. A altura de cada retângulo é dada por , então a soma fica:

Passo 5

Para encontrar a área real, precisamos levar o número de subintervalos para o infinito. Isso significa que estamos refinando a nossa soma de retângulos para que ela se aproxime cada vez mais da área exata. Então, a área sob o gráfico de é o limite da soma de Riemann quando tende ao infinito:
Á

Resposta

A área sob o gráfico de de a é dada por

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