Mostre que integral0^pi / 2 sen^n(x)sen^n(x)+cos ^n(x) d x=pi4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a integral de 0 até π/2 da função seno^n(x) dividido pela soma de seno^n(x) mais cosseno^n(x) é igual a π/4. Isso envolve cálculo integral e algumas propriedades de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituições e explorar simetrias nas funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a integral de I, ou seja:
I = integral0^pi2 sin^n(x)sin^n(x) + cos^n(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição útil. Vamos definir uma nova variável I = integralpi2^0 sin^n(pi2 - y)sin^n(pi2 - y) + cos^n(pi2 - y) (-dy) . Quando I = integral0^pi2 cos^n(y)sin^n(y) + cos^n(y) , dy , , e quando , . Também, . Portanto, a integral se transforma em:
Que simplifica para:

Passo 4

Agora, temos duas expressões para I:
I = integral0^pi2 sin^n(x)sin^n(x) + cos^n(x) , dx
e
I = integral0^pi2 cos^n(x)sin^n(x) + cos^n(x) , dx
Somando as duas expressões:
I + I = integral0^pi2 sin^n(x) + cos^n(x)sin^n(x) + cos^n(x) , dx
Que simplifica para:
2I = integral0^pi2 1 , dx

Passo 5

A integral de 1 de 0 até π/2 é simplesmente o comprimento do intervalo:
2I = pi2
Então, dividindo ambos os lados por 2:
I = pi4

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral0^pi2 sin^n(x)sin^n(x) + cos^n(x) , dx = pi4

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