Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a integral de 0 até π/2 da função seno^n(x) dividido pela soma de seno^n(x) mais cosseno^n(x) é igual a π/4. Isso envolve cálculo integral e algumas propriedades de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituições e explorar simetrias nas funções seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a integral de I, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição útil. Vamos definir uma nova variável
. Quando
,
, e quando
,
. Também,
. Portanto, a integral se transforma em:
Que simplifica para:
Passo 4
Agora, temos duas expressões para I:
e
Somando as duas expressões:
Que simplifica para:
Passo 5
A integral de 1 de 0 até π/2 é simplesmente o comprimento do intervalo:
Então, dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
Portanto, mostramos que: