Resolva as seguintes equações diferenciais de acordo com os métodos indicados:
Variáveis separáveis
Variáveis separáveis
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial usando o método de variáveis separáveis. A equação que temos é:
Vamos precisar entender como separar as variáveis
e
para conseguir integrar e encontrar a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar manipular a equação para separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. A equação está dada por:
Para separar as variáveis, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir uma nova variável
que facilita essa separação.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Mas sabemos que
, então substituindo:
Agora temos uma nova equação em termos de
e
:
Passo 4
Essa nova equação também é uma equação diferencial, mas agora podemos separá-la:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Agora, vamos resolver para
:
Lembrando que
, podemos substituir de volta:
Passo 6
Agora, vamos isolar
para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Onde
é a constante de integração que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.