Resolva as seguintes equações diferenciais de acordo com os métodos indicados:
Variáveis separáveis
d/y = (x+y+3)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial usando o método de variáveis separáveis. A equação que temos é:
Vamos precisar entender como separar as variáveis e para conseguir integrar e encontrar a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar manipular a equação para separar os termos que envolvem dos que envolvem . A equação está dada por:
Para separar as variáveis, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir uma nova variável que facilita essa separação.

Passo 3

Vamos definir:
Agora, vamos derivar em relação a :
Mas sabemos que , então substituindo:
Agora temos uma nova equação em termos de e :

Passo 4

Essa nova equação também é uma equação diferencial, mas agora podemos separá-la:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de em relação a é , e a integral de é , onde é a constante de integração.

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Agora, vamos resolver para :
Lembrando que , podemos substituir de volta:

Passo 6

Agora, vamos isolar para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Onde é a constante de integração que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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