Verifique que
é solução da equação dada e determine, a partir de
, outra solução
da equação, de forma que o conjunto
seja linearmente independente.
Passo 1
Resumo da questão: temos a EDO de 2ª ordem
, em que já é dado que
é uma solução. O objetivo é verificar isso e, a partir de
, encontrar uma segunda solução
de forma que
seja linearmente independente. Vamos usar o método de redução de ordem.
Passo 2
Verificação de
: calcule
e
. Substituindo na EDO:
logo
Passo 3
Forma padrão e identificação de
: dividindo a EDO por
obtemos
Logo
Passo 4
Aplicando redução de ordem: a fórmula para a segunda solução é
Passo 5
Calcule
, então
Passo 6
Cálculo do integral:
Passo 7
Logo
Passo 8
Para simplificar, podemos escolher o múltiplo escalar positivo e tomar
, que é linearmente independente de
.
Resposta
y_2(x) = 1 + x^2