Verifique que y1 é solução da equação dada e determine, a partir de y1, outra solução y2 da equação, de forma que o conjunto seja linearmente independente.

Passo 1

Resumo da questão: temos a EDO de 2ª ordem (1 - x^2)y'' + 2x y' - 2y = 0, em que já é dado que y1(x)=x é uma solução. O objetivo é verificar isso e, a partir de y1, encontrar uma segunda solução y2 de forma que y1,y2 seja linearmente independente. Vamos usar o método de redução de ordem.

Passo 2

Verificação de y1: calcule y1'=1 e y1''=0. Substituindo na EDO:
(1 - x^2)cdot 0 + 2xcdot 1 - 2cdot x = 2x - 2x = 0,
logo y1(x)=x realmente satisfaz a equação.

Passo 3

Forma padrão e identificação de p(x): dividindo a EDO por 1 - x^2 obtemos
y'' + 2x1 - x^2y' - 21 - x^2y = 0
Logo p(x)=2x1 - x^2 e q(x)=-21 - x^2.

Passo 4

Aplicando redução de ordem: a fórmula para a segunda solução é
y2 = y1integral e^-integral p(x),dxy1^2,dx

Passo 5

Calcule integral p(x),dx = integral 2x1 - x^2,dx = -ln(1 - x^2), então
e^-integral p(x)dx = e^ln(1 - x^2) = 1 - x^2

Passo 6

Cálculo do integral:
integral 1 - x^2x^2,dx = integral l(x^-2 - 1r),dx = -x^-1 - x + C

Passo 7

Logo
y2 = xl(-x^-1 - xr) = -1 - x^2

Passo 8

Para simplificar, podemos escolher o múltiplo escalar positivo e tomar y2(x)=1 + x^2, que é linearmente independente de y1(x)=x.

Resposta

y_2(x) = 1 + x^2

Exercícios relacionados