Verdadeiro ou Falso? Prove as afirmações verdadeiras e ache um contra-exemplo para as falsas:
Se a medida angular entre
é
radianos então
.
Se a medida angular entre
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado que a medida angular entre
e
é
radianos, então sempre temos
. O conteúdo necessário envolve a definição de ângulo entre vetores via produto escalar e a condição de igualdade na desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Pelo conceito de ângulo em
, temos
e para
radianos,
. Logo,
Passo 3
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz,
e a igualdade ocorre se, e somente se,
e
são linearmente dependentes. Como aqui
, temos igualdade em valor absoluto e sinal negativo, o que implica
para algum escalar
.
Passo 4
Substituindo
em
obtemos
Como
, temos
e daí
Isto mostra que
só vale
(isto é,
) se
.
Passo 5
Portanto, a afirmação “
implica
” é falsa em geral: só vale quando os vetores também têm mesmo comprimento. Um contra-exemplo simples é
Aqui o ângulo é
(são colineares e sentidos opostos), mas claramente
.
Resposta
Falsa