Verdadeiro ou Falso? Prove as afirmações verdadeiras e ache um contra-exemplo para as falsas:
Se a medida angular entre u e v é pi radianos então u=-v.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado que a medida angular entre vec u e vec v é pi radianos, então sempre temos vec u = -vec v. O conteúdo necessário envolve a definição de ângulo entre vetores via produto escalar e a condição de igualdade na desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Pelo conceito de ângulo em R^n, temos
costheta = vec u cdot vec v|vec u|,|vec v|,
e para theta = pi radianos, cospi = -1. Logo,
vec u cdot vec v = -|vec u|,|vec v|

Passo 3

Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz,
|vec u cdot vec v| <= |vec u|,|vec v|
e a igualdade ocorre se, e somente se, vec u e vec v são linearmente dependentes. Como aqui vec ucdotvec v = -|vec u|,|vec v|, temos igualdade em valor absoluto e sinal negativo, o que implica
vec u = lambda,vec v
para algum escalar lambda<0.

Passo 4

Substituindo vec u=lambdavec v em vec ucdotvec v = -|vec u|,|vec v| obtemos
lambda,|vec v|^2 = -|lambdavec v|,|vec v| = -|lambda|,|vec v|^2
Como lambda<0, temos |lambda|=-lambda e daí
lambda = -|vec u||vec v|
Isto mostra que lambda só vale -1 (isto é, vec u=-vec v) se |vec u|=|vec v|.

Passo 5

Portanto, a afirmação “ theta=pi implica vec u=-vec v” é falsa em geral: só vale quando os vetores também têm mesmo comprimento. Um contra-exemplo simples é
vec u = (2,0), vec v = (-1,0)
Aqui o ângulo é pi (são colineares e sentidos opostos), mas claramente vec uneq -vec v.

Resposta

Falsa

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