Seja um subespaço vetorial do . Determine uma base e a dimensão de .
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um subespaço vetorial de definido pela equação . Nosso objetivo é determinar uma base para e descobrir qual é a dimensão desse subespaço. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, bases e dimensão.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar quais vetores pertencem a . A equação nos dá uma condição que os componentes dos vetores de devem satisfazer. Podemos expressar uma das variáveis em função das outras para facilitar.
Passo 3
Vamos escolher expressar em função de e . Da equação , temos:
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Passo 4
Observamos que conseguimos escrever qualquer vetor de como combinação linear dos vetores e . Isso significa que esses dois vetores geram .
Passo 5
Agora, precisamos verificar se os vetores [(1, 0, -1)) e são linearmente independentes. Para isso, consideramos a combinação linear igual a zero:
Isso resulta no sistema de equações:
A única solução é , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como os vetores (1, 0, -1) e (0, 1, -1) são linearmente independentes e geram W , eles formam uma base para W .
Resposta
Uma base para W é , (1,,0,,-1),; (0,,1,,-1) , e a dimensão de W é 2.