Seja W=(x, y, z) in R^3 / x+y+z=0 um subespaço vetorial do R^3. Determine uma base e a dimensão de W.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um subespaço vetorial W de R^3 definido pela equação x + y + z = 0 . Nosso objetivo é determinar uma base para W e descobrir qual é a dimensão desse subespaço. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, bases e dimensão.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais vetores pertencem a W . A equação x + y + z = 0 nos dá uma condição que os componentes dos vetores de W devem satisfazer. Podemos expressar uma das variáveis em função das outras para facilitar.

Passo 3

Vamos escolher expressar z em função de x e y . Da equação x + y + z = 0 , temos:
z = -x - y
Assim, qualquer vetor (x, y, z) em W pode ser escrito como:
(x, y, -x - y) = x(1, 0, -1) + y(0, 1, -1)

Passo 4

Observamos que conseguimos escrever qualquer vetor de W como combinação linear dos vetores (1, 0, -1) e (0, 1, -1) . Isso significa que esses dois vetores geram W .

Passo 5

Agora, precisamos verificar se os vetores [(1, 0, -1)) e são linearmente independentes. Para isso, consideramos a combinação linear igual a zero:
Isso resulta no sistema de equações:
A única solução é , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como os vetores (1, 0, -1) e (0, 1, -1) são linearmente independentes e geram W , eles formam uma base para W .

Resposta

Uma base para W é , (1,,0,,-1),; (0,,1,,-1) , e a dimensão de W é 2.

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