Mostre que a inversa de Laplace da função transformada
é
. Sabendo que
, onde C é um contorno fechado adequadamente escolhido que envolve os polos de F(s).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Transformada de Laplace. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a inversa da Transformada de Laplace da função $ F(s) = \frac{s + 2}{s^2 + 4} $. Isso significa que queremos descobrir qual função no domínio do tempo, chamada $ f(t) $, corresponde a essa $ F(s) $ quando aplicamos a Transformada de Laplace.
Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada inversa:
Aqui, $ C $ é um contorno fechado que envolve os polos da função $ F(s) $.
Vamos por partes, explicando cada passo para chegar na solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polo de uma função. Em termos simples, os polos são os valores de $ s $ que fazem o denominador da função igual a zero, ou seja, onde a função “blows up” ou tende ao infinito.
Para $ F(s) = \frac{s + 2}{s^2 + 4} $, o denominador é $ s^2 + 4 $. Vamos encontrar os polos resolvendo:
Então, os polos são em $ s = 2i $ e $ s = -2i $.
Passo 3
Agora que sabemos onde estão os polos, precisamos escolher um contorno $ C $ que os envolva. No contexto da transformada inversa de Laplace, geralmente escolhemos uma linha vertical no plano complexo que está à direita de todos os polos. Mas, como vamos calcular a integral, podemos usar o Teorema dos Resíduos para simplificar o processo.
Passo 4
O Teorema dos Resíduos nos diz que, para calcular essa integral complexa, podemos somar os resíduos de $ F(s) e^{st} $ em torno dos polos dentro do contorno $ C $. Então, nossa tarefa agora é encontrar os resíduos de $ F(s) e^{st} $ em $ s = 2i $ e $ s = -2i $.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo em $ s = 2i $. Para uma função $ \frac{N(s)}{D(s)} $, onde $ D(s) $ tem um polo simples, o resíduo em $ s = s_0 $ é dado por:
Aqui, $ N(s) = s + 2 $ e $ D(s) = s^2 + 4 $.
Primeiro, calculamos a derivada de $ D(s) $:
Agora, avaliamos em $ s = 2i $:
Multiplicamos pelo $ e^{st} $ que está na função original:
Passo 6
Fazemos o mesmo para o polo em $ s = -2i $:
E multiplicamos pelo $ e^{st} $:
Passo 7
Agora, somamos os resíduos e multiplicamos por $ \frac{1}{2\pi i} $ conforme a definição da transformada inversa:
Simplificando, os $ 2\pi i $ se cancelam:
Passo 8
Vamos simplificar essa expressão usando a identidade de Euler, que relaciona funções exponenciais com cossenos e senos:
Aplicando isso em $ e^{2i t} $ e $ e^{-2i t} $:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão de $ f(t) $:
Agora, vamos multiplicar os termos:
Simplificando cada parte:
Para $ (i + 1)i $:
Para $ (1 - i)i $:
Substituindo:
Agora, combinando os termos de $ \cos(2t) $ e $ \sin(2t) $:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Cancelando os $ 2i $:
Resposta
A inversa de Laplace de $ F(s)=\frac{s+2}{s^{2}+4} $ é $ f(t)=\cos (2 t)+\operatorname{sen}(2 t) $.