Mostre que a inversa de Laplace da função transformada F(s)=s+2s^2+4 é f(t)=cos (2 t)+sen(2 t). Sabendo que f(t)=12 pi i ointC F(s) e^s t d s, onde C é um contorno fechado adequadamente escolhido que envolve os polos de F(s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Transformada de Laplace. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a inversa da Transformada de Laplace da função $ F(s) = \frac{s + 2}{s^2 + 4} $. Isso significa que queremos descobrir qual função no domínio do tempo, chamada $ f(t) $, corresponde a essa $ F(s) $ quando aplicamos a Transformada de Laplace.
Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada inversa:
F(s) = s + 2s^2 + 4
Aqui, $ C $ é um contorno fechado que envolve os polos da função $ F(s) $.
Vamos por partes, explicando cada passo para chegar na solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polo de uma função. Em termos simples, os polos são os valores de $ s $ que fazem o denominador da função igual a zero, ou seja, onde a função “blows up” ou tende ao infinito.
Para $ F(s) = \frac{s + 2}{s^2 + 4} $, o denominador é $ s^2 + 4 $. Vamos encontrar os polos resolvendo:
s
Então, os polos são em $ s = 2i $ e $ s = -2i $.

Passo 3

Agora que sabemos onde estão os polos, precisamos escolher um contorno $ C $ que os envolva. No contexto da transformada inversa de Laplace, geralmente escolhemos uma linha vertical no plano complexo que está à direita de todos os polos. Mas, como vamos calcular a integral, podemos usar o Teorema dos Resíduos para simplificar o processo.

Passo 4

O Teorema dos Resíduos nos diz que, para calcular essa integral complexa, podemos somar os resíduos de $ F(s) e^{st} $ em torno dos polos dentro do contorno $ C $. Então, nossa tarefa agora é encontrar os resíduos de $ F(s) e^{st} $ em $ s = 2i $ e $ s = -2i $.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo em $ s = 2i $. Para uma função $ \frac{N(s)}{D(s)} $, onde $ D(s) $ tem um polo simples, o resíduo em $ s = s_0 $ é dado por:
s = 2i
Aqui, $ N(s) = s + 2 $ e $ D(s) = s^2 + 4 $.
Primeiro, calculamos a derivada de $ D(s) $:
N(s)D(s)
Agora, avaliamos em $ s = 2i $:
D(s)
Multiplicamos pelo $ e^{st} $ que está na função original:
s = s0

Passo 6

Fazemos o mesmo para o polo em $ s = -2i $:
s = -2i
E multiplicamos pelo $ e^{st} $:
Res(-2i) = -2i + 22 cdot (-2i) = 2(1 - i)-4i = -1 - i2i

Passo 7

Agora, somamos os resíduos e multiplicamos por $ \frac{1}{2\pi i} $ conforme a definição da transformada inversa:
12pi i
Simplificando, os $ 2\pi i $ se cancelam:
f(t) = 12pi i cdot 2pi i ( i + 12i e^2i t - 1 - i2i e^-2i t )

Passo 8

Vamos simplificar essa expressão usando a identidade de Euler, que relaciona funções exponenciais com cossenos e senos:
e^itheta = cos(theta) + i sin(theta)
Aplicando isso em $ e^{2i t} $ e $ e^{-2i t} $:
e^2i t
e^-2i t

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de $ f(t) $:
f(t)
Agora, vamos multiplicar os termos:
f(t) = i + 12i (cos(2t) + i sin(2t)) - 1 - i2i (cos(2t) - i sin(2t))
Simplificando cada parte:
Para $ (i + 1)i $:
f(t) = (i + 1)cos(2t) + (i + 1)i sin(2t) - (1 - i)cos(2t) + (1 - i)i sin(2t)2i
Para $ (1 - i)i $:
(i + 1)i
Substituindo:
i cdot i + 1 cdot i = -1 + i
Agora, combinando os termos de $ \cos(2t) $ e $ \sin(2t) $:
(1 - i)i
Simplificando dentro dos colchetes:
1 cdot i - i cdot i = i + 1
f(t) = (i + 1)cos(2t) + (-1 + i) sin(2t) - (1 - i)cos(2t) + (i + 1) sin(2t)2i
Então:
cos(2t)
Cancelando os $ 2i $:
sin(2t)

Resposta

A inversa de Laplace de $ F(s)=\frac{s+2}{s^{2}+4} $ é $ f(t)=\cos (2 t)+\operatorname{sen}(2 t) $.

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