a Mostre que se
com
invertível, então
para todo
.
(b) Calcule
onde
.
ÁLGEBRA LINEAR AVANÇADA
c Seja
. Dado
B in M3(C) determine
B^n=A tal que
(b) Calcule
Passo 1
Vamos organizar: o exercício tem três partes: (a) provar a propriedade de conjugação de matrizes e potências, (b) calcular explicitamente A^n para A∈M_2(ℝ) usando diagonalização, © dado A∈M_3(ℂ) encontrar B tal que B^n=A, também por diagonalização.
Passo 2
Para (a), usamos indução sobre n. Base n=1 é trivial pois
(M^-1BM)^1=M^-1BM . Supondo
(M^-1BM)^n=M^-1B^nM , então
Passo 3
Para (b), achamos primeiro os autovalores de
A=2&43&13 : o polinômio característico é
λ^2-15λ+14=(λ-1)(λ-14) , logo
λ1=1,;λ2=14 . Autovetores: para
λ1=1 v₁=[-4,1]^T e para
λ2=14 v₂=[1,3]^T. Montamos
P^-1 ₁ ₂ e calculamos
A^n=P1^n&00&14^nP^-1 = 11314^n+12 & 4(14^n-1)3(14^n-1) & 12,14^n+1 . Daí
Passo 4
Para ©, diagonalizamos
Ain M3( C) com autovalores distintos
2,1,-1 . Sejam autovetores v₁=[4,2,1]^T, v₂=[9,3,2]^T, v₃=[5,1,2]^T e
D=diag(2,1,-1) ₁ ₂ ₃ ,
A=SDS^-1, B=S2^1/n&0&00&1^1/n&00&0&(-1)^1/nS^-1, . Então
Resposta
(a) Demonstrado por indução que
(M^-1BM)^n=M^-1B^nM para todo
nin N . (b) Usando diagonalização, obtém-se
© Diagonalizando
de modo que
B^n=A .