a Mostre que se B, M in Mn(K) com M invertível, então n in N para todo A^n, n in N.
(b) Calcule cc2 & 4 3 & 13 onde ccc0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2.

ÁLGEBRA LINEAR AVANÇADA

c Seja n in N. Dado B in M3(C) determine B^n=A tal que

Passo 1

Vamos organizar: o exercício tem três partes: (a) provar a propriedade de conjugação de matrizes e potências, (b) calcular explicitamente A^n para A∈M_2(ℝ) usando diagonalização, © dado A∈M_3(ℂ) encontrar B tal que B^n=A, também por diagonalização.

Passo 2

Para (a), usamos indução sobre n. Base n=1 é trivial pois (M^-1BM)^1=M^-1BM. Supondo (M^-1BM)^n=M^-1B^nM, então
(M^-1BM)^n+1=(M^-1BM)^n,(M^-1BM)=l(M^-1B^nMr)(M^-1BM)=M^-1B^nunderbraceMM^-1IBM=M^-1B^n+1M

Passo 3

Para (b), achamos primeiro os autovalores de A=2&43&13: o polinômio característico é λ^2-15λ+14=(λ-1)(λ-14), logo λ1=1,;λ2=14. Autovetores: para λ1=1 v₁=[-4,1]^T e para λ2=14 v₂=[1,3]^T. Montamos P^-1 e calculamos A^n=P1^n&00&14^nP^-1 = 11314^n+12 & 4(14^n-1)3(14^n-1) & 12,14^n+1. Daí

Passo 4

Para ©, diagonalizamos Ain M3( C) com autovalores distintos 2,1,-1. Sejam autovetores v₁=[4,2,1]^T, v₂=[9,3,2]^T, v₃=[5,1,2]^T e D=diag(2,1,-1), A=SDS^-1, B=S2^1/n&0&00&1^1/n&00&0&(-1)^1/nS^-1,. Então
B^n=A que satisfaz .

Resposta

(a) Demonstrado por indução que (M^-1BM)^n=M^-1B^nM para todo nin N. (b) Usando diagonalização, obtém-se
A^n=11314^n+12 & 4(14^n-1)3(14^n-1) & 12,14^n+1
© Diagonalizando Ain M3( C) como A=S,diag(2,1,-1)S^-1, basta tomar
B=S,diag(2^1/n,1^1/n,(-1)^1/n),S^-1,
de modo que B^n=A.

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