O enunciado diz que temos um operador linear T: P₂(ℝ)→P₂(ℝ) cuja matriz na base B={½x², −½, ½x} é
[T]B^B=1&0&00&0&10&−1&0
O que queremos mostrar é que T admite uma base de autovetores em P₂(ℝ), ou seja, que é diagonalizável.
Passo 2
Para encontrar os autovalores e autovetores é mais fácil usar a base canônica C={x², x, 1}. Primeiro expressamos os vetores de C em termos da base B:
– x²=2⋅(½x²),
– x=2⋅(½x),
– 1=−2⋅(−½).
Passo 3
Agora aplicamos T a esses vetores, usando [T]_B^B, e voltamos para a base C:
– T(x²)=T(2⋅½x²)=2⋅(½x²)=x²,
– T(x)=T(2⋅½x)=2⋅(T(½x))=2⋅(−½)=−1,
– T(1)=T(−2⋅(−½))=−2⋅T(−½)=−2⋅(−½x)=x.
Isso dá, na base C,
[T]C^C=1&0&00&0&-10&-1&0
Passo 4
O polinômio característico de [T]_C^C é
detl([T]C^C-lambda Ir)=(1-lambda)(lambda^2-1)=(1-lambda)^2(1+lambda)
Assim os autovalores são lambda1=-1 (multiplicidade algébrica 1) e lambda2=1 (multiplicidade algébrica 2).
Passo 5
Para lambda=-1 resolvemos (T+I)v=0 e obtemos um autoespaço de dimensão 1. Para lambda=1 resolvemos (T-I)v=0 e achamos dimensão 2. Como a soma das dimensões dos autoespaços é 1+2=3, igual à dimensão de P₂(ℝ), há 3 autovetores independentes. Portanto T é diagonalizável.
Resposta
T é diagonalizável, pois possui 3 autovetores independentes em P₂(ℝ).