Seja calcule A^2020. Agora seja ccc3 & -1 & -1 -1 & 2 & 0 3 & -2 & 0 consegue calcular B^2020 ? Dica: Pela divisão euclideana de x^k por PB temos que x^k=PB(x) qk(x)+rk(x) onde rk=0 ou rk. Encontre .
Passo 1
O enunciado pede pra calcular as potências de duas matrizes A e B elevadas a um expoente grande (2020). O conteúdo é: cálculo de potências de matrizes usando polinômio mínimo e teorema de Cayley–Hamilton, e no caso B ainda precisamos usar divisão de polinômios para achar o resto rₖ(x) de xᵏ mod P_B(x).
Passo 2
Vamos começar por A. Primeiro obtemos o polinômio característico de A, que é det(A–λI)=λ(λ–1)(λ+1), logo os autovalores são 0,
1 e –1. Pelo teorema de Cayley–Hamilton temos m_A(A)=0 com m_A(x)=x(x²–1). Daí A³=A, e recorrentemente Aⁿ=Aⁿ⁻² para n≥2. Em particular, para n par e ≥2, Aⁿ=A².
Agora B. Primeiro achamos o polinômio característico P_B(x)=x³–5x²+8x–4=(x–1)(x–2)². Vemos que λ=2 tem bloco de Jordan de tamanho 2, e λ=1 é semissimples. Para Bⁿ existe um polinômio rₙ(x)=a x² + b x + c de grau ❤️ tal que Bⁿ = rₙ(B).
Pelos autovalores e teoria de funções de matriz em bloco de Jordan, exigimos
rₙ(1)=1ⁿ=1, rₙ(2)=2ⁿ, rₙ’(2)=n·2^{n-1}.
Substituindo n=2020, escrevemos as equações:
a + b + c = 1,
4a + 2b + c = 2^{2020},
(4a + b) = 2020·2^{2019}.
Resolvendo esse sistema, encontramos
a = 1009·2^{2020} + 1,
b = -3026·2^{2020} - 4,
c = 2017·2^{2020} + 4.
Logo o resto r_{2020}(x) é (1009·2^{2020}+1)x² + (−3026·2^{2020}−4)x + (2017·2^{2020}+4).
Então B^{2020} = r_{2020}(B) = (1009·2^{2020}+1)B² + (−3026·2^{2020}−4)B + (2017·2^{2020}+4)I.