Sejam
operadores lineares. Suponha que
é autovetor de
e de
associado aos autovalores
de
e
, respectivamente. Ache um autovetor e um autovalor de:
a
T onde
b
a
b
Passo 1
O enunciado pede para achar autovalor e autovetor de combinações de operadores lineares quando já sabemos que v é autovetor comum de T e S, com T(v)=λ₁v e S(v)=λ₂v. Vamos usar linearidade e a definição de autovetor/autovalor.
Passo 2
Para αS+βT aplique o operador em v: (αS+βT)(v)=αS(v)+βT(v)=αλ₂v+βλ₁v=(αλ₂+βλ₁)v. Logo, v é autovetor de αS+βT com autovalor αλ₂+βλ₁.
Passo 3
Para S∘T use a composição em v: (S∘T)(v)=S(T(v))=S(λ₁v)=λ₁S(v)=λ₁λ₂v. Assim, v é autovetor de S∘T com autovalor λ₁λ₂.
Resposta
No caso de αS+βT, o autovetor é v com autovalor αλ₂+βλ₁. No caso de S∘T, o autovetor é v com autovalor λ₁λ₂.