Mostre que
é isomórfico a um subgrupo de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o grupo simétrico
é isomorfo a algum subgrupo de
.
Conteúdo: permutações, sinal de permutação e subgrupos alternantes.
Vamos construir um homomorfismo injetivo , isto é, um “embedding” que leva toda permutação em
numa permutação par de
elementos.
Conteúdo: permutações, sinal de permutação e subgrupos alternantes.
Vamos construir um homomorfismo injetivo
Passo 2
Definimos
Ou seja, se para torná-la par.
Passo 3
Mostramos que
é homomorfismo. Se
têm sinais e , então . Analisa-se caso a caso:
- Se
, então , e . Logo . - Se um deles é ímpar, compõem-se exatamente uma transposição extra, e verifica-se que
porque . - Se ambos são ímpares, cada um compõe com
, então
,
etambém é (porque ).
Passo 4
Por construção,
é sempre par em
. De fato, se
já era par não se adiciona nada, e se era ímpar adicionamos exatamente uma transposição, tornando o produto par. Logo
para todo
.
Passo 5
Para ver que
é injetiva, note que se
em
, então em particular
fixa
. Mas na restrição a esses pontos
coincide com
. Logo
. Assim o núcleo de
é trivial, e
é injetiva.
Passo 6
Concluímos que
é um monomorfismo de
em
. Logo
é um subgrupo de
isomorfo a
.
Resposta
Portanto
é isomorfo ao subgrupo
de
.