Mostre que Sn é isomórfico a um subgrupo de An+2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o grupo simétrico ,Sn é isomorfo a algum subgrupo de ,An+2.
Conteúdo: permutações, sinal de permutação e subgrupos alternantes.
Vamos construir um homomorfismo injetivo phi:Snto An+2, isto é, um “embedding” que leva toda permutação em Sn numa permutação par de n+2 elementos.

Passo 2

Definimos
Ou seja, se para torná-la par.

Passo 3

Mostramos que é homomorfismo. Se têm sinais e , então . Analisa-se caso a caso:
  • Se , então , e . Logo .
  • Se um deles é ímpar, compõem-se exatamente uma transposição extra, e verifica-se que porque .
  • Se ambos são ímpares, cada um compõe com , então
    ,
    e também é (porque ).

Passo 4

Por construção, phi(sigma) é sempre par em Sn+2. De fato, se sigma já era par não se adiciona nada, e se era ímpar adicionamos exatamente uma transposição, tornando o produto par. Logo phi(sigma)in An+2 para todo sigma.

Passo 5

Para ver que phi é injetiva, note que se phi(sigma)=id em 1,dots,n+2, então em particular phi(sigma) fixa 1,dots,n. Mas na restrição a esses pontos phi(sigma) coincide com sigma. Logo sigma=id. Assim o núcleo de phi é trivial, e phi é injetiva.

Passo 6

Concluímos que phi é um monomorfismo de Sn em An+2. Logo phi(Sn) é um subgrupo de An+2 isomorfo a Sn.

Resposta

Portanto Sn é isomorfo ao subgrupo phi(Sn) de An+2.

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