Sejam
um grupo e
um subgrupo de
tal que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um grupo
e um subgrupo
tal que o índice
. Isso significa que há exatamente duas classes laterais (cosets) à esquerda de
em
. O objetivo é mostrar que
é normal em
, ou seja, que para todo
vale
Passo 2
Como
, existem só duas classes laterais à esquerda de
em
. Uma delas é a própria
e a outra podemos chamar de
para algum
. Logo,
é a partição de
em cosets à esquerda de
.
Passo 3
De modo análogo, há só duas classes laterais à direita de
, que são
Passo 4
Agora peguemos um elemento arbitrário
. Há dois casos:
Caso 1:
.
Então
Então
logo
.
Caso 2:
.
Nesse caso pertence à outra classe lateral à esquerda, então
Nesse caso
e também pertence à outra classe lateral à direita, logo
Mas como há só duas classes laterais, a única outra depois de
é justamente a mesmas de índice 2, ou seja,
. Portanto de novo
Resposta
Em ambos os casos obtivemos
para todo
. Logo
é normal em
: