Sejam G um grupo e H um subgrupo de G tal que (G: H)=2. Mostre que H triang<=<=ft G.

Passo 1

O enunciado diz que temos um grupo G e um subgrupo Hsubseteq G tal que o índice (G : H)=2. Isso significa que há exatamente duas classes laterais (cosets) à esquerda de H em G. O objetivo é mostrar que H é normal em G, ou seja, que para todo gin G vale
gH = Hg

Passo 2

Como (G : H)=2, existem só duas classes laterais à esquerda de H em G. Uma delas é a própria H e a outra podemos chamar de aH para algum anotin H. Logo,
,H,;aH
é a partição de G em cosets à esquerda de H.

Passo 3

De modo análogo, há só duas classes laterais à direita de H, que são
,H,;Ha

Passo 4

Agora peguemos um elemento arbitrário gin G. Há dois casos:
Caso 1: gin H.
Então
gH = H e Hg = H,
logo gH = Hg.
Caso 2: gnotin H.
Nesse caso g pertence à outra classe lateral à esquerda, então
gH = aH,
e também pertence à outra classe lateral à direita, logo
Hg = Ha
Mas como há só duas classes laterais, a única outra depois de H é justamente a mesmas de índice 2, ou seja, aH=Ha. Portanto de novo
gH = aH = Ha = Hg

Resposta

Em ambos os casos obtivemos gH = Hg para todo gin G. Logo H é normal em G:
H triang<=<=ft G

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