Quais das seguintes funções são homomorfismos? Se a função for um homomorfismo, qual é o kernel?
(a) definida por
(b) phi: R GL2(R) definida por
phi(a)=(ll 1 & 0 a & 1 )
(c) phi: GL2(R) R definida por
phi((ll a & b c & d ))=a+d
(d) phi: GL2(R) R^* definida por
phi((ll a & b c & d ))=a d-b c
(e) phi: M2(R) R definida por
phi((ll a & b c & d ))=b
onde M2(R) é o grupo aditivo das matrizes 2 times 2 com entradas em R.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco aplicações entre grupos e pede para identificar quais são homomorfismos de grupo e, em caso afirmativo, determinar o kernel de cada uma. Vamos lembrar que para ser homomorfismo é preciso ter
phi(g1ast g2)=phi(g1),circ,phi(g2),
onde ast é a lei do grupo de partida e circ a lei do grupo de chegada. Em seguida, o kernel é o conjunto gmidphi(g)=e, com e o elemento neutro do grupo de chegada.
Passo 2
(a) Aqui phicolonR^*toGL2(R) com phi(a)=1&00&a. No domínio a lei é multiplicação e em GL2(R) é multiplicação de matrizes. Temos
phi(ab)=1&00&ab =1&00&a 1&00&b =phi(a),phi(b),
logo é homomorfismo. O kernel é
kerphi=ainR^*midphi(a)=I =amid a=1=1
Passo 3
(b) Aqui com . No domínio usamos adição e em multiplicação de matrizes. Calculamos
portanto é homomorfismo. O kernel é
Passo 4
(c) Aqui com . No domínio a lei é multiplicação de matrizes e em a adição. Para ser homomorfismo precisaríamos
isto é, para todas , mas isso não vale em geral. Logo não é homomorfismo.
Passo 5
(d) Aqui phicolonGL2(R)toR^* com phi(A)=det(A). A lei em R^* é multiplicação, e conhecemos a propriedade
det(AB)=det(A),det(B),
logo phi é homomorfismo. O kernel é
kerphi=AinGL2(R)middet(A)=1,
isto é, SL2(R).
Passo 6
(e) Aqui com . No domínio a lei é soma de matrizes e em também soma. Para e vale
logo é homomorfismo. O kernel é
isto é, todas as matrizes com a entrada igual a zero.
Resposta
(a) é homomorfismo, .
(b) é homomorfismo, .
(c) não é homomorfismo.
(d) é homomorfismo, .
(e) é homomorfismo, .