Mostre que H=H+0, H+1, H+2 e H+3 são as únicas classes laterais à direita de H=4 Z em lang<=Z,+rang<=.

Passo 1

O enunciado considera o grupo lang<= Z,+rang<= e o subgrupo
H = 4Z = 4k mid kinZ,
e pede para mostrar que as únicas classes laterais à direita de H em Z são
H+0, H+1, H+2, H+3

Passo 2

Recordando a definição: para qualquer ainZ, a classe lateral à direita de H determinada por a é
H + a = ,h + a mid h in H = ,4k + a mid kinZ

Passo 3

Duas classes laterais H + a e H + b são iguais se, e somente se,
a - b in H,
isto é, se a - b = 4m para algum minZ.

Passo 4

Dado um inteiro arbitrário a, faça a divisão euclidiana por 4:
a = 4q + r, qinZ, rin0,1,2,3
Então
H + a = H + (4q + r) = (H + 4q) + r = H + r
pois 4qin H implica H+4q=H.

Passo 5

Isso mostra que qualquer classe lateral H+a coincide com uma das quatro
H+0,;H+1,;H+2,;H+3
Não há mais possibilidades porque todo resto r na divisão por 4 cai em 0,1,2,3.

Resposta

As únicas classes laterais à direita de H=4Z em lang<=Z,+rang<= são
H+0, H+1, H+2, H+3

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