Mostre que R^2 é isomorfo a qualquer subespaço de dimensão 2 de R^3. Exiba um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que é isomorfo a qualquer subespaço de dimensão 2 em . Para isso vamos usar os conceitos de base, dimensão, aplicação linear, núcleo e imagem, e provar que existe um isomorfismo (isto é, uma bijeção linear) entre V).

Passo 2

Como VsubseteqR^3 tem dimensão 2, ela possui uma base formada por dois vetores linearmente independentes, digamos
v1,v2. Definimos então a aplicação
phicolon R^2to V, phil((x,y)r)=x,v1+y,v2

Passo 3

Verificamos que phi é linear: para quaisquer (x1,y1),,(x2,y2)inR^2 e lambdainR,
phil((x1,y1)+(x2,y2)r) =phil((x1+x2,,y1+y2)r) =(x1+x2)v1+(y1+y2)v2 =phi(x1,y1)+phi(x2,y2),
phil(lambda,(x,y)r) =phil((lambda x,lambda y)r) =lambda x,v1+lambda y,v2 =lambda,phi(x,y)

Passo 4

Mostramos que phi é injetora e sobrejetora:
Injetividade: se phi(x,y)=0 em V, então
x,v1+y,v2=0
Como v1,v2 são independentes, isso força x=0 e y=0. Logo kerphi=(0,0), e phi é injetora.
Sobrejetividade: todo vetor vin V pode ser escrito como combinação v= a,v1+b,v2, logo v=phi(a,b). Portanto phi é sobrejetora.

Resposta

A aplicação
phicolon R^2to V, phil((x,y)r)=x,v1+y,v2,
é um isomorfismo entre R^2 e qualquer subespaço VsubseteqR^3 de dimensão 2.

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