Mostre que
é isomorfo a qualquer subespaço de dimensão 2 de
. Exiba um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é isomorfo a qualquer subespaço
de dimensão 2 em
. Para isso vamos usar os conceitos de base, dimensão, aplicação linear, núcleo e imagem, e provar que existe um isomorfismo (isto é, uma bijeção linear) entre V).
Passo 2
Como
tem dimensão 2, ela possui uma base formada por dois vetores linearmente independentes, digamos
. Definimos então a aplicação
Passo 3
Verificamos que
é linear: para quaisquer
e
,
Passo 4
Mostramos que
é injetora e sobrejetora:
Injetividade: se em
, então
Injetividade: se
Como
são independentes, isso força
e
. Logo
, e
é injetora.
Sobrejetividade: todo vetor pode ser escrito como combinação
, logo
. Portanto
é sobrejetora.
Sobrejetividade: todo vetor
Resposta
A aplicação
é um isomorfismo entre
e qualquer subespaço
de dimensão 2.