Utilize convoluções para determinar as transformadas inversas de Laplace da função dada.
9s(s^2+9)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=9sl(s^2+9r)
usando o Teorema da Convolução. Vamos lembrar que, se
F(s)=G(s),H(s),
então
L^-1F(s)(t) =(g*h)(t) =integral0^tg(tau),h(t-tau),dtau,
onde g=L^-1G e h=L^-1H.

Passo 2

Escrevemos
F(s) =9;1s;1s^2+9
Tomamos
G(s)=1s, H(s)=1s^2+9

Passo 3

Encontramos as transformadas inversas de cada fator:
g(t)=L^-1l1sr(t)=1,
h(t)=L^-1l1s^2+9r(t) =13sinl(3tr)

Passo 4

Pelo Teorema da Convolução,
f(t)=L^-1F(s)(t) =9,(g*h)(t) =9integral0^t1;cdot;13sinl(3,(t-tau)r),dtau
Como a integral é invariante a troca de variável, podemos escrever
f(t) =3integral0^tsinl(3ur),du =3;l[-13cosl(3ur)r]0^t =1-cosl(3tr)

Resposta

A transformada inversa de Laplace é
f(t)=1-cosl(3tr)

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