Utilize convoluções para determinar as transformadas inversas de Laplace da função dada.
1s(s^2+4) com F(s)=1 / s^2 e G(s)=s /(s^2+4). Compare com o Problema 23.6.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de 1s(s^2+4) usando convolução. Vamos usar as transformadas conhecidas
F(s)=1s^2;Longrightarrow;f(t)=t,
G(s)=ss^2+4;Longrightarrow;g(t)=cos(2t)
Pela propriedade da convolução,
L^-1F(s),G(s)(t) ;=;(f*g)(t)

Passo 2

Escrevemos o integral de convolução:
(f*g)(t) =integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau =integral0^ttau;cosl(2(t-tau)r),dtau

Passo 3

Usamos a identidade cos(2(t-tau))=cos(2t)cos(2tau)+sin(2t)sin(2tau) e separamos:
integral0^ttaucos(2t)cos(2tau),dtau +integral0^ttausin(2t)sin(2tau),dtau
Aplicando integração por partes em cada integral e somando os resultados, chega-se a
(f*g)(t) =14,l(1-cos(2t)r)

Passo 4

Esse mesmo resultado aparece no Problema 23.6 ao usar frações parciais, pois
1s(s^2+4) =14s-14,ss^2+4
conduz a
14-14cos(2t) =14l(1-cos(2t)r)

Resposta

f(t)=14,l(1-cos(2t)r)

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