Mostre que:
u, v é L.I. Rightarrowu+v, 2 u-v é L.I.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se u,v é linearmente independente, então também o é o conjunto u+v,,2u-v. O conteúdo que vamos usar é a definição de independência linear: um conjunto de vetores é L.I. quando a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Suponha que existam escalares a e b tais que
a(u+v) ;+; b(2u-v) ;=;0

Passo 3

Distribuindo e agrupando em u e v, temos
au+av+2bu-bv =;(a+2b),u;+;(a-b),v =;0

Passo 4

Como u,v é L.I., os coeficientes devem satisfazer
a+2b=0, a-b=0

Passo 5

Do sistema acima, da segunda equação vem a=b. Substituindo em a+2b=0
b+2b=3b=0 Rightarrow b=0 Longrightarrow a=0

Resposta

Como a única solução é a=0 e b=0, concluímos que u+v,,2u-v é linearmente independente.

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