Seja E=(e1, e2, e3) uma base. E sejam u e v vetores com coordenadas (1+n, 2,-2 n)E e (2, n-2,-n)E, respectivamente. Para que valor(es) de n (número real) temos que u, v é L.D.?

Passo 1

O enunciado nos dá vetores u e v em R^3 cujas coordenadas na base E são
u = (1+n,,2,,-2n)E, v = (2,,n-2,,-n)E,
e pede para quais valores de n o conjunto u,v é linearmente dependente. Como são dois vetores, eles serão LD se, e somente se, um for múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Suponha então que exista lambdainR tal que
u = lambda,v
Isso gera o sistema de equações pelos componentes:
1+n = lambdacdot 2, 2 = lambda,(n-2), -2n = lambda,(-n)

Passo 3

Da primeira equação isolamos lambda:
lambda = 1+n2

Passo 4

Substituindo esse lambda na segunda equação 2 = lambda,(n-2), obtemos
2 = 1+n2,(n-2) Longrightarrow 4 = (1+n)(n-2) Longrightarrow 4 = n^2 - n - 2 Longrightarrow n^2 - n - 6 = 0,
cuja solução é
n = 3 ou n = -2

Passo 5

Agora substituímos lambda = 1+n2 na terceira equação -2n = lambda,(-n):
-2n = -n;1+n2 Longrightarrow 2n = n,1+n2 Longrightarrow 4n = n(n+1) Longrightarrow n(n-3)=0,
cuja solução é
n = 0 ou n = 3

Passo 6

A condição de dependência linear exige que ambas as equações sejam satisfeitas simultaneamente. As soluções da segunda equação são nin3,-2 e da terceira são nin0,3. A única intersecção é
n = 3

Resposta

n = 3

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